Анатолий

Плавный переход, это минимум ajax.
Подгружается не вся страница, а только контент.
Например у Jquery есть функции fadeIn и fadeOut, можно и другими реализовать.

Жмешь на ссылку, отправляется запрос на подгрузку контента следующей страницы, в этот момент происходит "затухание" текущей страницы, контент подгружен, стартует функция "появления". "Сбалансировать" время между запросом контента и его получением можно гифкой ajax-loader.

Если это сделать не асинхронным запросом, получится "каша", ведь первая страница может потухнуть, а вторая еще будет в ожидании, так и вторая может не сразу открыться.
Хотя это можно сделать. Просто к клику вешаешь событие "затухание". Браузер пока ответ не получит от сервера, страницу не сменит. А на ready ДОМа каждой страницы (или только переходов), повешать появление . Будет самый простой эффект плавного перехода между страницами. Клик - затухание, пока браузер ждет ответ на клик - переход на новую страницу - появление контента. Если сервер быстро обрабатывает запросы, сайт оптимизирован, а у пользователя шустрый интернет, будет выглядеть как по настоящему.

#id-формы - ctrl+f
form - ctrl+f
В общем инструментами разработчика выясняешь как можно идентифицировать скриптом форму, потом открываешь скрипт и простым поиском.
Если не знаешь в каком скрипте искать, открываешь, правым кликом, код страницы, поиск по ".js" кликаешь по скриптам и ищешь идентификатор своей формы.
Или. Возможно, можно убрать Jquery со страницы, тогда при клике ты увидишь в консоле & - is not a function sript.js:108

Это очень злой php код!

Походу
$r = $mysqli->query($where[$w]['sql']);
При следующие итерации значение затрется.
Чтобы это проверить, поменяйте поля формы:

<input type="search" name="query">
<input type="date" name="calendar" min="2016-09-29">

Тогда дата будет вторая в массиве.

поменяйте name на id.