Александр

Можно.
После добавления записи в таблицу делаете отправку сообщения с помощью метода sendmessage (https://core.telegram.org/bots/api#sendmessage)

Написать такую логику видимо надо сначала.

Бот это не тоже самое что канал/группа где все общаются.

В боте идёт персональная переписка с ботом.

А долго, это например сколько?
3-5 минут? Секунды? У каждого свое понятие долго.
Если хотите посмотреть по времени ответа сервера, возьмите сообщение, которое вам ВК в json формате посылает, и вставьте его например в Postman, и запросите через него адрес бота. Так вы сможете получить примерное время ответа вашего скрипта на сообщение. Ну а дальше, уже оптимизация. Естественно, если у вас хостинг, а не VPS то скорости будут совсем не ахти.

P.S. по два сообщения скорее всего из-за превышения времени ожидания или ошибки. Вы CallbackApi используете?

Нужно использовать inline-клавиатуру

$button_en = array('text' => 'English', 'callback_data' => '/lang_english');
$button_ru = array('text' => 'Русский', 'callback_data' => '/lang_russian');
				
$keyboard = array('inline_keyboard' => array(array($button_en, $button_ru)));
$params['reply_markup'] = json_encode($keyboard, TRUE);

После нажатия кнопки нужно будет принимать callback_query. Я для удобства значение callback_data пишу через "_", то есть при отправке /lang_russian я разбиваю это значение на сегменты, после чего становится понятно, что в метод, связанный с установкой языка set_lang(), мне надо отправить один параметр "russian".