Serenya

Контроллер можно к макетке или переходнику на DIP прищепкой прижимать. Подключать к программатору как фантазия подскажет.

В авиамодельных магазинах можно поспрашивать провод в силиконовой изоляции или в китае присмотреть, провод очень мягкий и изоляция не плавится при пайке.

Да, антидребезговые цепи скорее всего есть если нет программного устранения дребезга, но думаю что они все равно не помешают сигналу с вывода ардуины. Для определения чем управляет кнопка достаточно воспользоваться тестером и проверить что находится на другой стороне кнопки. Т.к.кнопка одна то вряд ли там динамический опрос или аналоговая цепочка.

Пытался найти схему на плату, так и не нашел, но думаю что с кнопки сигнал идет напрямую на контроллер, и тогда возможно обойтись без транзисторного ключа или реле и подключить вывод ардуины. Но лучше все же уточнить логические уровни в контроллере. Хотя судя по Вашей схеме питание модуля 3.3в, а вы подаете 5в и все работает, то рискну предположить что лигика контроллера модуля терпима к 5в ттл. А может не стоит питать модуль 5в, там рядом 3.3 есть?