Большое спасибо! Сделал, как Вы посоветовали. Действительно, на локальном сервере PUT работает, а на production - почему-то нет. Вот что получается:
«!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//IETF//DTD HTML 2.0//EN"»
«html»«head»
«title» 501 Not Implemented «/title»
«/head»«body»
«h1» Not Implemented «/h1»
«p»GET to /index.php not supported.«br /»
«/p»
«p»Additionally, a 404 Not Found
error was encountered while trying to use an ErrorDocument to handle the request
.«/p»
«/body»«/html»
Именно так, GET not supported, хотя я делаю запрос PUT!
При этом GET работает и на production.
Содержимое файла .htaccess стандартное (если его переименовать, ничего не меняется):