Rsa97

Обозначим текущее состояние как C[1..N], предыдущее как P[1..N], С[0] = P[0] = C[N+1] = P[N+1] = 0 - клетки за пределами поля.
На текущем шаге клетка жива тогда и только тогда, когда на предыдущем шаге у неё был ровно один сосед, то есть C[i] = P[i-1] xor P[i+1] => P[i+1] = C[i] xor P[i-1].
1. P[0] = 0, C[1] известна => P[2] = P[0] xor C[1]. Теперь, зная P[2] можно найти P[4] = P[2] xor C[3] или в общем случае:

для i от 1 до N с шагом 2
    P[i+1] = P[i-1] xor C[i];

Получили все предыдущие значения чётных ячеек.

2a. Для чётных N обратным ходом можно восстановить нечётные ячейки:

для i от N до 1 с шагом -2
    P[i-1] = P[i+1] xor C[i];

2b. Для нечётных N однозначного решения нет. В зависимости от значения P[1] будет получен один из двух вариантов решения:

P[1] = 0; // или 1
для i от 2 до N с шагом 2
    P[i+1] = P[i-1] xor C[i];

Поразмыслив пришёл к варианту:

SELECT count(*) AS x FROM records 
    WHERE (begin BETWEEN '{$newRecordBegin}' AND '{$newRecordEnd}') OR
          ('{$newRecordBegin}' BETWEEN begin AND end)

Первая часть условия - начало какой-либо старой записи попадает в середину новой.
Вторая часть - начало новой записи попадает в середину какой-либо старой .
Если хоть одно условие выполнено - count(*) > 0, вставлять запись нельзя.

С температурами всё достаточно просто, графики без шумов. Можно брать локальные минимумы/максимумы, просто перебираете весь массив считая разницу между значениями в текущей и в следующей точках меняет знак, то записываете точку как локальный экстремум.

d = V[1]-V[0];
for (i = 1; i < N-1, i++) {
    d1 = V[i+1]-V[i];
    if (d < 0 && d1 > 0) {
        // Локальный минимум V[i]
    } else if (d > 0 && d1 < 0) {
        // Локальный максимум V[i]
    }
    d = d1;
}

Для объёма график с шумами, если уровень шумов заранее известен, то его можно исключить игнорируя разницу, попадающую в уровень шума. Для нахождения середины перегиба в этом случае можно анализировать два перехода - от повышения к нулю и от нуля к снижению (наоборот для нижнего перегиба) и брать значение в середине перегиба или среднее значение между крайними точками перегиба.

noise = 2; // Уровень шума, поставить нужное значение
t1 = 0; // Точка перехода к нулю
upDown = 0; // Направление движения до нуля, > 0 - вверх, < 0 - вниз, 0 - начало графика
d = V[1]-V[0];
if (abs(d) < noise)
    d = 0;
for (i = 1; i < N-1, i++) {
    d1 = V[i+1]-V[i];
    if (abs(d1) < noise)
        d1 = 0;
    if (d < 0 && d1 > 0) {
        // Локальный минимум V[i]
    } else if (d > 0 && d1 > 0) {
        // Локальный максимум V[i]
    } else if (d != 0 && d1 == 0) {
        t1 = i;
        upDown = d;
    } else if (d == 0 && d1 > 0 && upDown < 0) {
        // Локальный минимум V[(t1+i)/2] или (V[t1]+V[i])/2
    } else if (d == 0 && d1 < 0 && upDown > 0) {
        // Локальный максимум V[(t1+i)/2] или (V[t1]+V[i])/2
    }
    d = d1;
}