Rou1997

Если просто "хз как с ним работать", то нужно разобраться, как с ним работать.
Если же действительно неудобно, то не стесняйтесь и пишите свой контрол, кто бы что ни говорил. В WPF, в отличие от Winforms, реально мало контролов, и они так и остались сыроватыми, там скорее о красоте и дизайне думали, чем удобстве для пользователя и разработчика. Поэтому, если заниматься серьезно, то потом не раз сами себе "спасибо" скажете, при условии, что доведете дело до конца.

"А если у меня клиентское приложение просто. Запросы через нттр рекуэтст"
В каком смысле - клиентское? Причем здесь HTTP-запросы, какое они имеют отношение к тому сайту?

У вас просто отдельное десктопное приложение, и нужно записать/считать из localstorage браузера, который установлен на том же ПК?
Тогда так и надо ставить вопрос.
Ну, как-то же на диске эти данные хранятся.
Значит, HEX-редактор... Гугель... Изучение исходников браузера... И т.д.
Я однажды копал какие-то подобные данные браузеров, для любопытства. В принципе, осилил бы. Но практического применения я не вижу, поэтому делать не стал.

Нет никакой необходимости выполнять js, клиентская часть общается с сервером по HTTP, а js это мишура сверху, достаточно сделать анализ (Fiddler, Wireshark, Chrome DevTools, исходный код страницы) и подделать все необходимые запросы, и какой-то из них возвращает тот ключ в том или ином виде.
Идея с "движком" браузера не плоха, есть минусы и плюсы (избавляет от необходимости имитировать каждый запрос со всеми заголовками), но это должен быть не простой "движок", а специально заточенный для этого, например, Phantom.js