Михаил Зорин

Для начала я эти два фрагмента кода:

listItem.forEach(function (listItem) {
  listItem.addEventListener('click', function () {
    btnList.innerText = this.innerText;
    inputNone.value = this.dataset.value;
    dropdownList.classList.remove('_visible');
  });
});

listItem.forEach(function (listItem) {
  listItem.addEventListener('keyup', function (event) {
    if (event.key === 'Enter') {
      btnList.innerText = this.innerText;
      inputNone.value = this.dataset.value;
      dropdownList.classList.remove('_visible');
    }
  });
});

Советую изменить на эти:

dropdownList.addEventListener('click', (e) => {
  if (!e.target.classList.contains('dropdown__list-item')) return;

  btnList.innerText = e.target.innerText;
  inputNone.value = e.target.dataset.value;
  dropdownList.classList.remove('_visible');
})

dropdownList.addEventListener('keyup', e => {
  if (!e.target.classList.contains('dropdown__list-item')) return;
  if (e.key !== 'Enter') return;

  btnList.innerText = e.target.innerText;
  inputNone.value = e.target.dataset.value;
  dropdownList.classList.remove('_visible');
})

Так как если вы захотите добавить новые элементы в список динамически, вам придется ручками добавлять обработчики им.

То есть если я выберу какую-то опцию в десктопной версии, перейду на мобилку, то там эта опция не будет выбрана. Так как в форме я буду отправлять значение именно того селекта, который нативный, ему нужно значение, выбранное на кастомной десктопной версии - задавать.

Если вы обрабатываете значение из <select>, то зачем вы присваиваете полученное после клика по пункту в кастомном dropdow значение другому элементу?

<input type="text" name="select-category" value="" class="dropdown__input-hidden">

const inputNone = document.querySelector('.dropdown__input-hidden');
/* *** */
inputNone.value = this.dataset.value;

Очевидным решением будет присваивать значение именно <select> который с ваших слов вы обрабатываете в последующем.

<select class="what_kind" name="boots"> *** </select>

const whatKindSlct = document.querySelector('.what_kind');
/* *** */
whatKindSlct.value = this.dataset.value;
// Или 
// whatKindSlct.value = e.target.dataset.value;
// Если решите использовать мой код

P.S. Обратите внимание на повторяющийся код