Как выровнять меню по центру bootstrap?

Скорее всего у вас контейнер есть с ограниченной шириной и позицией в relative. Очень тяжело гадать. Смотрите ширину родителя

Как выровнять меню по центру bootstrap?

Если указываете свойство left свойство right указывать не надо.
Вот посмотрите все по центру при fixed позиции
Codepen Fixed Center

Можно ли так задать фон строчному элементу?

Что то странная задача у вас, минимум будет костыль, который аукнется при адаптивной верстке. Я думаю правильно было бы сделать все таки родителя с фоном, а в нем строки с переносами в нужном месте.

<div>
  <h1>Текст <br> заголовка</h1>  
</div>

div {
  background-color: #ee1825;
  padding: 0 10px;
  display: table;
}
h1 {
  display: inline;
  font-size: 30px;
  line-height: 30px;
  color: #fff;
}

Ну или сделайте элемент не inline, а table
display: table;

Как сделать слайдер?

Вот накидал простенький с бесконечной прокруткой Codepen Slider. Из настройки поставить 2 селектора - контейнера и слайда. Количество элементов на странице настраивается через css, поэтому с адаптивом на разные экраны вообще без проблем.

Как удалить класс с соседнего элемента?

if ($(this).has('active')){ 
$(this).parent().find('div.btn-color').removeClass('active');
$(this).addClass('active');
}
else{
//тут должно быть то, что отключит active у другого цвета
//потом добовляем active тому, на что нажали
$(this).addClass('active');
}