Для работы с MySQL есть gem mysql2. Но в Rails Вам не надо работать с СУБД, Rails это делает за Вас. Конечно, можно и самому писать запросы, но в большинстве случаев этого не понадобится, благодаря гибкости моделей в RoR.
К прочтению могу посоветовать:
railstutorial.ru и www.rusrails.ru для начала.

На стороне сервера JWT нигде не хранится. В этом его суть. Конечно, иногда прибегают к хранения JWT в белом/чёрном списке токенов, но это уже детали.

JWT в себе должен содержать достаточную информацию о пользователе для его аутентификации и авторизации.

Если коротко, то JWT — это токен, содержащий JSON объект с полями, заложенными в этот объект при выдаче токена, и подписью. Подпись нужна для того, чтобы сервер (issuer, эмитент) мог удостовериться, что указанный при запросе клиента токен был действительно выдан этим (или доверенным) сервером (эмитентом).

Например, если взять токен

eyJhbGciOiJIUzI1NiIsInR5cCI6IkpXVCJ9.eyJzdWIiOiIxMjM0NTY3ODkwIiwibmFtZSI6IkpvaG4gRG9lIiwiaWF0IjoxNTE2MjM5MDIyfQ.6-NqQiSlSYgbZ-x31JH6g17DkFiTu04VM6CPiptriB0

то можно заметить, что он состоит из трёх частей, разделенных точкой.
Первая часть eyJhbGciOiJIUzI1NiIsInR5cCI6IkpXVCJ9 — это заголовок. JSON-объект, закодированный в base64 строку, содержащий информацию о самом токене: тип и алгоритм шифрования, используемый для получения подписи. Если раскодировать строку, то получается {"alg":"HS256","typ":"JWT"}.
Вторая часть

eyJzdWIiOiIxMjM0NTY3ODkwIiwibmFtZSI6IkpvaG4gRG9lIiwiaWF0IjoxNTE2MjM5MDIyfQ

— это полезная нагрузка. JSON-объект, который был сформирован сервером (эмитентом) при создании токена. Точно так же как и заголовок является base64 стрококой. Если раскодировать, то в данном примере получается

{"sub":"1234567890","name":"John Doe","iat":1516239022}

Третья часть 6-NqQiSlSYgbZ-x31JH6g17DkFiTu04VM6CPiptriB0 — это подпись. В данном примере подпись сформирована с помощью алгоритма HS256 (что указано в первой части токена) следующим образом:

HMACSHA256(
  base64UrlEncode(header) + "." +
  base64UrlEncode(payload),
  jwt-secret
)

В данном случае секретом для подписания и валидации JWT является строка jwt-secret. Секретный ключ неизвестен клиенту, поэтому он не может сам сформировать JWT с любыми данными. Точнее может, но не может к этим данным сделать валидную подпись, так как не знает секрет. Сервер же секрет знает, поэтому может вычислить подпись из первых двух частей токена и сравнить её с третьей частью.

Обычно во вторую часть токена (payload) помимо информации о пользователе попадает техническая информация о токене. Например, iat (issued at) — время, когда токен был выдан. Или exp (expiration time) — время, после наступления которого токен станет истёкшим. JWT библиотеки используют exp и при валидации токена выдают ошибку, если указанное время уже прошло.