Дмитрий Просто

А не будет подходящим и более простым решением настроить сбор почты аккаунтом Gmail с внешних удаленных ящика(ов)?

Лучше пользоваться сбором почты

Битрикс просто забирает по POP3 (или IMAP?) входящую почту? С каким временным интервалом проверяются ящики?
На первый взгляд достаточно странно, что есть проблемы при работе с входящей почтой. А вот с исходящей почтой наоборот, логично, чтобы были (или будут), особенно при существенном количестве писем.

Biz.Mail.ru для корпоративной почты (с целью ящиков для менеджеров и переписки из интерфейса, почтовой программы) хороший сервис, но для остального (CMS, CRM) - под вопросом.

Свой почтовый сервер и локальная или серверная программа рассылки.

Настройка почты на любом платном хостинге не легче, чем на сервисах Яндекс, Майл, Гугл.
Оптимальным вариантом, думаю, для Вашей задачи будет Mail.ru. Настроить надо один раз. Других временных затрат сервис не требует. Если уже есть зарегистрированный домен, процедура настройки занимает не более суток, с учетом переноса домена.
Если нужна помощь , обращайтесь.

Можно использовать любой хостинг для сайта, если тариф подразумевает поддержку почты, а сайт повесить позже. Главное помнить, что у любого хостинга есть лимиты.

На хостингах с фильтрацией входящей почты на спам действительно дело обстоит хуже, чем на сервисах Mail.ru, Yandex.ru. С исходящей почтой теоретически могут быть так же неприятности, зависит все от хостера и внимания, которое он уделяет поддержке сервиса почты.

Если требуются автоматические отправки с сайта какой-либо информации (событийные письма, заказы и т.п.) большой шанс получить проблему при использовании корп. почты данных сервисов.

Просто для корпоративной переписки Mail.ru, Yandex.ru вполне подойдут. Для отправки с сайта лучше корпоративную почту на своем сервере.