Почему может не работает yaCounter?

А можно посмотреть на рабочем сайте, возможно счетчик действительно не активен?

Slick Slider. Как сделать такую галерею?

Здесь есть пример реализации слайдера с превью - jsfiddle.net/Virtual/webyrb9d

Какой плагин для горизонтального тач скролла как я моб. сайте Яндекса?

На мобильной версии Яндекса вроде не используется никакой плагин, это нативный горизонтальный скролл с соответствующими стилями для обрезания контента.

Как сохранять данные с localStorage?

Возможно браузер работает в приватном режиме

Распарсивание json и создание динамических ссылок в jquery?

Из вашего кода вообще не понятно в чем проблема, как минимум не хватает главного - JSON файла.