Выключается ноутбук или только экран?
В любом случае, попробуйте подключить внешний монитор. Если с ним будет изображение - смотрите в сторону шлейфа.
Кроме того, попробуйте сбросить BIOS, отключив основную батарею и батарейку BIOS.
Кстати, как вы определили, что зарядка идет? У меня вообще большое подозрение, что где-то неудачно коротнуло на плату.