C#+WebClient+HtmlAgilityPack. Как получить скрытый на вкладке div?

Судя по тому, что при нажатии на вкладку доп информации виден прогрессбар, видимо срабатывает событие и далее происходит get запрос с последующим добавлением данных. Как написано выше посмотри с помощью fiddler или на в кладке сеть по f12. Вот в ответе на get запрос и находятся требуемые вам данные. Пишу как это обычно в теории, проверить не могу, тк просматриваю с планшета

Как вызвать функцмю с PaintEventArgument e?

Роман Титов, ошибка то уже в bitmap, может имя файла или формат картинки не тот

Как вызвать функцмю с PaintEventArgument e?

Попробуйте так

На форме создайте событие 
        
        private void Form1_Paint(object sender, PaintEventArgs e)
        {
                ePaintEventArgs = e;
        }
        PaintEventArgs ePaintEventArgs;
        private void Form1_Load(object sender, EventArgs e)
        {
                
                Draw(ePaintEventArgs);
        }

Как реализовать поиск по нескольким полям C# + SQL Server?

Данные для столбца вы откуда берете, из textbox'а?

Передача списка друзей в другую форму. Как сделать?

public static Auth GetAuth(string login, string pass)
{
//действие
return AuthManager;
}

Передача списка друзей в другую форму. Как сделать?

код формы покажите

Передача списка друзей в другую форму. Как сделать?

static internal class ClassStatic
    {
            static internal DataTable DtLog;
    }
    public partial class FrmStart : Form
    {
            private void Start()
            {
                        ClassStatic.DtLog = new DataTable();
                        ClassStatic.DtLog.Columns.Add("Log");
            }

    }
    public partial class FrmHelper
    {
            private void StartHelper()
            {            
                        ClassStatic.DtLog.Rows.Add("Тест");
            }
    }

Передача списка друзей в другую форму. Как сделать?

Да, вы правильно понимаете. Объявлять через new в вашем случае нужно один раз, а дальше, или передавать vkapi или как вариант через static

Передача списка друзей в другую форму.Update. Как сделать?

Auth AuthVk;

        public FrndList(Auth authVk)
        {
            InitializeComponent();
            AuthVk=authVk;
}
private void FrndList_Load(object sender, EventArgs e)
        {
            AuthVk.GetFriendList(lbFriends);
        }

Передача списка друзей в другую форму. Как сделать?

Иван Фролов: создай internal static класс, запихни туда VkApi. Доступ будет c любой формы

Библиотека C# для создания браузера?

По умолчанию webbrowser использует 7 версию ie. Для использования версии выше, помоему требуется править реестр.