OKyJIucT

Можно повесить обработчик JS на ссылку и при клике сперва отправлять запрос на бекенд, а после - перенаправлять юзера по ссылке.

Либо перенаправлять на промежуточную страницу, где фиксировать переход и отправлять его дальше.

Самый простой способ - можете повесить цель метрики на ссылку и в метрике смотреть, сколько было переходов (это улучшеный вариант первого способа, где не надо ничего колхозить, метрика все сделает за вас).

Сколько времени провел там можно узнать, только если сайт ваш - по той же метрике. Если сайт чужой, то никак не узнаете.

Когда вы отправляете данные AJAX, в теле запроса нет $_POST['submit'] и $_GET['go'], есть только то, что вы ему передали в параметре data
data: {name:name}
то есть $_POST['name'], соответственно, у вас не доходит до запроса в базу.

И не забудьте экранировать то, что отправляете в базу. Юзеры могут искать с кавычками, например, и все сломается.