Зависит ли работоспособность wi-fi-роутера от провайдера?Нет.
Слышал гипотезу о том, что роутер прошивается под конкретного провайдера и не работает с другими, правда ли это?Да, бывает и такое.
Нужно ли мне вручную перепрошивать (под Vodafone)?Это у вас спросить надо, мы то откуда знаем, что там у вас есть, и что вам нужно.