UX - правильное расположение элементов интерфейса (приложения, сайта, etc.) и подбор их оформления (опционально) для достижения максимальной вовлеченности пользователя в сайт с целью получения кликов по нужным хозяину сайта элементам.
Навыки: Когнитивная психология, теория цвета, умение собрать данные об аудитории и понимание нужд оной.
Задача: "Рассказать историю" сайта (чит. - Провести пользователя по всем нужным кнопочкам и текстовым блокам); Расставить и выделить Call-to-Action; Не заставлять пользователя думать; Максимизировать регистрации/покупки продуктов/позитивные впечатления.
Пример сходу - сайт дропбокса.

Занимается этим UX Designer/Developer (В принципе, и дизайнер и девелопер - корректно).

Front-End Developer не должен этим заниматься, не его работа. Он должен просто заставить работать то, что дал ему UX Dev.
Про дизайнера - сложный вопрос. В больших компаниях есть отдельный UX/UI (или консультирующий). В небольших же грани часто стираются и один человек выполняет всю работу. На фрилансе такой "Мастер на все Руки" в порядке вещей. Иногда и Front-End Dev этим занимается (зависит от фрилансера и требований клиента, хотя фронтендер не обязан).