Msklf

Вы уже задали options и если хотите задать атрибут data-*, то это делается так

[
   'prompt' => 'Select',
   'data' => [
      'text' => 'Text',
      'image' => 'Image'
   ]
]

или чуть проще

[
  'prompt' => 'Select',
  'data-text' => 'Text',
  'data-image' => 'Image'
]

Ну а для prompt можно использовать массив

'prompt' => [
    'text' => 'Select',
    'options' => [
        'value' => 'prompt',
        'class' => 'prompt-class',
        'selected' => 'selected'
    ]
]

В документации всё расписано

$('#checkid').on('click', function(){
  $('#butid').trigger('click');
  })

Demo

Если правильно понял, так
https://codepen.io/newkamikaze/pen/veWZwP

Извините, но код у вас жутковатый. Зачем UL, если внутри нет LI? Ну и от Float лучше отказаться, в данном случае оно вроде как не оправдано.