Точка x принадлежит интервалу (a;b) равносильно a < x < b (строго, в отличие от отрезка)
Последовательность (0;1/n) не имеет общих точек т.к. для любого положительного x(необходимое условие общей точки) существует n начиная с которого 1/N<= x, ч.т.д. Для последовательности (-1/n; 1/n) для 0 и любого n:1/n<0<1/n, следовательно 0 - общая точка. Таким образом вы правы, система интервалов может иметь общую точку в частных случаях, для более глубокого анализа:
В случае стягивающихся отрезков имеем для левых границ существует верхняя граница (правая граница любого отрезка)=> существует минимальная верхняя граница(b), аналогично существует максимальная нижняя граница для правых границ(a), очевидно, что b>=a, (иначе начиная с какого-то номера левые границы будут больше всех правых границ, что противоречит определению системы вложенных отрезков) если b>a, то в качестве общей точки подойдёт очевидно, любое число из [a;b], если нет, то подойдёт число a, оно же b(проверьте!), таким образом, для вложенных отрезков всегда существует общая точка.
Доказательство для интервалов верно ДО b>=a (если считать правые и левые границы интервала (a;b), числа b и a соответственно).
Однако если b>a, существуют 4 случая: начиная с какого-то n все левые границы равны a или ни для какого - не равны(т.е. строго меньше) и тогда в качестве общей точки подойдут все точки начиная с a (не включительно или включительно соответственно ) и до b, аналогично (включительно или нет)(проверьте!)
Если же b=a, аналогично, если начиная с какого-то n все левые границы равны a, то никакая правая не равна b (иначе противоречие с определением вложенных отрезков) и тогда для любого числа x>b(необходимое условие для общей точки) найдется n начиная с которого все правые границы>=x (из определения минимальной верхней границы и условия, что a=b), случай если начиная с какого-то номера все правые границы равны b, рассматриваются аналогично, следовательно тогда система вложенных отрезков не имеет общих точек.
Если ни для какого n левые границы не равны a и правые не равны b, т.е. меньше и больше соответственно, то в качестве общей точки подойдёт число a, оно же b (проверьте!).
Таким образом можно ещё раз рассмотреть примеры, используя полученные знания:
(-1/n;1/n) - минимальная верхняя и максимальная нижняя границы очевидно, 0 и притом никакие левые границы не равны 0 и правые не равны 0, следовательно 0 - общая точка
(0;1/n) Также границы 0, но все левые границы равны 0 для любого n, следовательно общих точек нет.