MinZeroMax

Выходите из подпрограммы как можно раньше, это позволит не выполнять лишние действия и уменьшит вложенность.

@commands.Cog.listener()
async def on_message(self, message):
    
    if message.author == self.bot.user:
        return
    
    if message.channel.id != 1233498806881095824:
        return

    user_id = message.author.id
    current_time = time.time()

    if not msg_delay(user_id, self, current_time):
        await message.channel.send("Ожидайте перед следующим обновлением опыта.")
        return

    user_name = message.author.name
    xp_amount = 100
    if message.attachments:
        xp_amount = 150

    self.last_xp_update[user_id] = current_time
    database.increase_xp(user_id, user_name, xp_amount)

    guild_id = message.guild.id
    guild = self.bot.get_guild(guild_id)
    member = guild.get_member(user_id)
    if member == None:
        return

    id_add_role, id_delete_role = await get_role_ids(user_id, user_name, db_levels, database)
    await manage_roles(member, guild, id_add_role, id_delete_role)

Вы прочитали гайд по библиотеке? Он у них есть.
Для слушания событий в когах есть Cog.listener

client = disnake.Client()
Intents.members = True

А ничего, что то что ты тут присвоил, вообще ни на что не влияет? Ты же интенты в клиента не передаёшь.
Не говоря у же о том, что ты работаешь зачем-то с классом Intents, а надо с экземпляром класса.

Вероятно на портале для разработчиков не включено соответствующее разрешение


В коде проблем нет, хотя он несколько мудреный. Если хочется структурировать события, для этого стоит использовать disnake.Client

import disnake

class MyClient(disnake.Client):
    async def on_member_join(self, member: disnake.Member):
        guild = member.guild
        if guild.system_channel:
            to_send = f"Welcome {member.mention} to {guild.name}!"
            await guild.system_channel.send(to_send)

    async def on_ready(self):
        print(f"Logged in as {self.user} (ID: {self.user.id})\n------")

intents = disnake.Intents.default()
intents.members = True

if __name__ == "__main__":
    client = MyClient(intents=intents)
    client.run(os.getenv("BOT_TOKEN"))