Самый прикол ряда Тейлора — почему у него такой остаточный член.
У Лагранжа и Коши
Члены очень хороши.
А у Шлёмильха и Роша
Самый, говорят, хороший.
Решим задачу попроще: прикинем на пальцах форму степенного ряда Sum{a
ix
i}, который приближает функцию в окрестности x=0.
0-е приближение: f(x) ≈ f(0).
1-е приближение: f(x) ≈ f(0) + f'(0)·x.
Пока никаких нареканий. Подумаем над вторым приближением.
f(x) ≈ f(0) + f'(0)·x + ax².
Хотелось бы, чтобы этот многочлен имел такие же производные вплоть до второй, как и функция f. (x²)|
x=0=(x²)'|
x=0=0, с этим никаких проблем. Поскольку (x²)''|
x=0=2, получается, что a=f''(0)/2.
И сразу n-е приближение.
f(x) ≈ f(0) + f'(0)·x + f''(0)·x²/2 + … + bx
n.
И этот многочлен должен иметь такую же n-ю производную, как и функция f. Чему равен (x
n)
(n)|
x=0? Разумеется, n!. Отсюда и коэффициент f
(n)(0)/n!.