Есть ли возможность узнать поисковый запрос, по которому был переход со страницы выдачи поиска Google?

Реферер не передается при переходе с https:// на http ://. При переходе же с https:// на https:// реферер передается.
Поднимите хотябы часть своего сайта на HTTPS и увидите рефереры снова.