MaxKozlov

вместо

postsFile = open('posts.txt','r+') # Открываем файл на чтение и запись
posts = postsFile.read().splitlines() # Читаем файл и помещаем строки в список posts

у вас будет подключение к базе данных, создание таблицы, если надо
и чтение из неё данных
а вместо

postsFile.writelines(url+'\n') # И ссылку записываем в файл posts.txt

запись в базу данных

первый же пример работы из гугла по запросу "python postgresql"
https://pythonru.com/biblioteki/vvedenie-v-postgre...

по совету Александр, ссылка на аддон Heroku Postgres
https://elements.heroku.com/addons/heroku-postgresql

он понадобится чтобы подключить, собственно БД от heroku

procfile должен в корне проекта лежать, а не в подпапке

https://devcenter.heroku.com/articles/procfile#pro...

The Procfile must live in your app’s root directory. It does not function if placed anywhere else.