Makito

свойство декоратора template используется для встроенного шаблона, а вам надо templateUrl юзать, помимо этого у вас синтаксическая ошибка, точку с запятой уберите после объявления декоратора:

@Component({
  selector: 'my-app',
  templateUrl: './app.component.html'
})
export class AppComponent  {}

Ну во-первых у вас как то странно работает сам поиск, получается что вы каждый раз загружаете всех пользователей и потом по этой выборке локально ищите вхождения.
Вам нужно либо один раз при инициализации загрузить весь список пользователей и положить его к примеру в _source а потом при вводе текста фильтровать этот список и не мучить сервер запросами, либо если пользователей много то на сервере должен быть реализован метод для поиска сотрудников по строке.
Во-вторых, да, код написан не совсем верно.
Если вы хотите чтобы сервер искал и возвращал только подходящее то:

Observable.fromEvent(this.myInput.nativeElement, 'input')
    .debounceTime(500)
    .map(e => e.target.value)
    .switchMap(searchText => this.http.get(`URL_API&q=${searchText}`))
    .map(res => res.json())
    .subscribe(users => this.userNames = users);

Если же вы хотите искать по локально сохранённой коллекции пользователей то:

Observable.fromEvent(this.myInput.nativeElement, 'input')
    .debounceTime(500)
    .do(e => this.searchText = e.target.value)
    .switchMap(() => Observable.from(this._source))
    .subscribe(users => this.userNames = users.map(item => item.fullName)
               .filter(item => item.toLowerCase().includes(searchText.toLowerCase())));

Мой код может быть не на все сто рабочим но общий посыл должен быть таким.