MaXX77777

Так у вас вот же, выводится весь массив в цикле:

<div v-for="messages in message">{{ messages.name }}</div>

Сделайте вычисляемое свойство, например:

computed: {
  thirdName() {
    if (this.messages.length >= 3) {
      return this.messages[2].name;
    }
  }
},

и показывайте его, когда не пустое: <div v-if="thirdName">Имя: {{ thirdName }}</div>

P. S. вывод всего списка:

https://developer.mozilla.org/en-US/docs/Web/API/N...
https://qna.habr.com/q/338809

Правила сервиса:

2. Перед тем как задать вопрос пользователь Сервиса обязан:

2.2 Убедиться в том, что в сети Интернет, и на страницах Сервиса в частности, отсутствуют ответы на данный вопрос. Специально для этого талантливые IT-специалисты создали и развивают поисковые системы Яндекс и Google.

можно без jQuery