Максим Короткевич

А сколько всего студентов?
Если их N человек, то надо минимум C(N, 4) = N! / (4! * (N-4)!) интрегалов.

У нас имеется C(N, 4) различных четверок студентов. Для каждой четверки определим свой уникальный интеграл, в который они не смогли. Его решили все остальные.
Таким образом, любые 4 студента не справятся ровно с одним интегралом, и любой дополнительный пятый возьмет его (1 или 2 студента обязательно входят как минимум в 1 четверку и тоже не возьмут по крайней мере 1 интеграл).

Можно ли меньше?
Тогда либо найдется четверка, для которой нет "плохого" интеграла, то есть которая может взять их все, либо (по принципу Дирихле) найдутся 2 разные четверки, у которых общий "плохой" интеграл, но тогда из них можно собрать 5 студентов, которые с этим интегралом не справятся. Т.е. как ни крути, условия не выполняются.

Нужно хотя бы 5 интегралов. Возьмем какую-нибудь пятерку людей. Если исключить первого, какой-то интеграл, взятый первым человеком, будет не взят по условию всеми остальными. Если исключить второго, будет не взят какой-то другой интеграл (ведь прошлый интеграл отсутствовал в четверке 2,3,4,5). Аналогично, можно взять еще 3 недостающих интеграла, исключая оставшихся трех людей. Итак, мы насчитали 5 каких-то уникальных интегралов, а значит их хотя бы 5.

Также можно составить пример с 5-ю интегралами: {{1},{2},{3},{4},{5}} - 5 студентов, 5 интегралов, каждый взял совой интеграл.

Вот и получается, что 5 - минимальное количество.