Lmn14

Значит и правда нет такой таблицы. Сделайте её создание в __init__ и всё

import sqlite3

class Database:
    def __init__(self, db_file):
        self.connection = sqlite3.connect(db_file)
        self.cursor = self.connection.cursor()

        with self.connection:
            self.cursor.execute('''
               CREATE TABLE IF NOT EXISTS Users ( 
                    id INTEGER PRIMARY KEY NOT NULL, 
                    user_id INTEGER NOT NULL, 
                    nickname TEXT (60), 
                    time_sub NOT NULL DEFAULT (0), 
                    signup TEXT DEFAULT setnickname 
                );
            ''')

    def add_user(self, id):
        with self.connection:
            self.cursor.execute("INSERT INTO `Users` (`id`) VALUES (?)", (id,))
            return self.cursor.execute

    def user_exists(self, id):
        with self.connection:
            result = self.cursor.execute("SELECT * FROM `Users` WHERE  `id` = ?", (id,)).fetchall()
            return bool(len(result))

ps: придется пофиксить add_user т.к. он принимает только один параметр - ID, а у вас 3 NOT NULL параметра