$("#contact").sub(function() {
sub - это что? может submit? если да то переписываем так:
$("#contact").submit(function(e) {
e.preventDefault();
У формы атрибут action можно убрать, т.к. ты прописываешь url в аяксе, ну и соответственно это
url: "https://mail.google.com/mail/u/0/?tab=rm&ogbl#inbox.php",
исправь на верный путь до твоего php скрипта...
