Ольга

1. адрес поменялся на транслит - проверяем символьные коды разделов и элементов,где такое случилось
2.

В некоторых местах он вообще генерирует http://5.253.60.81/#SITE_DIR#productarenda-tekhniki

- вот тут надо смотреть конкретно эти места, если в инфоблоке и компоненте все точно правильно(например,если комплексный,не забыли ли вы посмотреть,что там внутри) - тогда остаются только сами шаблоны

1. Что значит дублируется? где?
2. Скорее всего используются включаемые области/файлы в подвале или шапке. В зависимости от ленивости и прямоты рук может быть реализовано по-разному. Например может просто проверяться,что страница "главная" и вставляться файл, может использоваться компонент bitrix:main.include, тогда поиск кода зависит от параметра "AREA_FILE_SHOW"(file,page,section). Еще стоит проверить php файлы,которые валяются рядом с index.php, может натолкнетесь на что-то интересное
3.Скорее всего используются компоненты аспро,а они знают,какие настройки стоят в модуле. если реакции нет - значит компоненты разработчик пихнул сам либо что-то сломал.

Для поиска фраз можно воспользоваться putty (нужен доступ ssh) и рекурсивным поиском по файлам

find ./ -type f -name "*.php" -exec grep -i -H "STRING"  {} \;

Это, скорее всего, будет системный файл, переопределить можно следуя документации
https://dev.1c-bitrix.ru/learning/course/index.php...

Скорее всего неправильно заполнено формирование адресов в инфоблоке в админке (в том инфоблоке, на который ссылается свойство)

Вы вешаете обработчик на кнопку, когда система УЖЕ попыталась добавить в корзину товар. В случае "success" нужно посмотреть, что приходит в "data" и в зависимости от содержимого менять содержимое кнопки. Например пришла ошибка и товар не был добавлен в корзину, тогда писать "в корзине" - нельзя.
Если в принципе на ошибки пофиг, то тогда вне зависимости от "data" сразу меняем надпись. Т.е. $(document).on('click' - не нужно.
Как найти, что за кнопка была нажата? В функцию приходит "ID" продукта, по нему находим кнопку на странице и заменяем кнопку. Либо можно найти , где вызывается функция add2basket(ID) и менять там, но этот вариант хуже, т.к. мы не будем знать,а был ли вообще ответ от сервера.