Никак, логгеры не возвращают сообщения об ошибках.
Пиши класс-потомок logger.Handler который будет сохранять сообщения в БД, и назначай экземпляр этого хандлера нужным логам.
Подробности в доках на модуль logging, но если кратко - там разделение обязанностей. Есть Formatter, который занимается превращением записи в строку, есть Handler, который пихает полученную строку в файл или ещё куда, есть Filter, который реализует умную фильтрацию записей, ну и т.д.
