urlManager настроен правильно?

'urlManager' => [
            'enablePrettyUrl' => true,
            'showScriptName' => false,
            'rules' => [
              ....
             ],
            ]

В твоем случае редиректить через header не лучшая идея (ИМХО).
Я правильно понимаю что ты используешь какой-то фреймворк? Если да, то какой? Скорее всего в конфиге можно настроить роуты.
Если же без фреймворка работаешь, то копай с сторону .htacces

Должно получиться что-то вроде этого:

RewriteCond %{QUERY_STRING} action=page [NC]
RewriteCond %{QUERY_STRING} id=(\d+) [NC]
RewriteRule .* /page/%1/? [R=301,L]

1) По факту занимаюсь embedded программированием на с++ и си, а вместо оформления программистом оформили инженером. Это нормальная практика для гос контор? И часто такое встречается?

То, что ты не программиста, а инженер - нормальная практика. Точнее это конечно не нормально, но для гос структур - обычное дело. Я сам долгое время был "лаборантом", "инженером", "заведующим лабораторией" (это тип так повышали меня =) ). Пока не пошел в коммерческую структуру и не понял как оно должно быть на самом деле.

2) В штате нет администраторов, devops-ов и как результат сборка виртуальных машин для компиляции ложиться на плечи программистов.

Тоже нормальная практика. Из личного опыта (можешь поправить если у тебя не так) могу сказать что это делается не из-за экономии средств, а из-за элементарной безграмотности многих "руководителей".

3) Тз нет в принципе, их никому не выдавали НИКОГДА. Все формулируется устно, при этом правки в "устное тз" могут вносится по настроению начальника в любое время и на любой стадии проекта.

Тоже знакомая ситуация =) Опять же это не нормально, но для госСлужбы - привычное дело.

4) В конторе нет документации, вообще нет.

С таким я конечно не сталкивался, хоть что-то но было. Но обычно это "что-то" делалось силами самими программистами, чтобы облегчить себе жизнь. Поэтому я не сильно удивлюсь, если документация будет отсутствовать=)

5) Нет дизайнеров, разработка ui и рисование картинок лежит на плечах программистов. Графики в приложении много.

Ты спроси у руководителей, знают ли они о существовании людей с такой должностью? =) Скорее всего нет. Для них программист - как шампунь (все в одном =) ): и тестировщик, и аналитик, и дизайнер, и сисАдмин, и кодер. А при необходимости он (программист) еще может вытащить застрявшую бумагу из принтера, установить драйвера для него, заправить картридж тонером. И я это все говорю из ЛИЧНОГО опыта.

6) Устанавливают сжатые сроки на проекты.

Такого у меня не было. Обычно когда дают задачу, через пару дней про нее забывают
или откладывают, потому что появилась более срочная задача. Ну и 3-4 месяца - это конечно не "сжатые" сроки. Это прям лафа =) В коммерческих организациях все должно быть сделано "вчера, ну или на крайний случай сегодня вечером".

7) Сроки устанавливаются сверху и спускаются на отдел. Меня даже не спрашивают смогу ли я это сделать за такой срок или нет.

Опять же это делается из-за уровня профессионализма "начальства". С этим ничего не поделаешь, если собираешься там продолжать работать - смирись

8) В связи с пунктами 2-7 вопрос какая на мне будет ответственность если что-то пойдет не так? К примеру программа упадет в продакшене и клиент подаст в суд, какая на меня ляжет ответственность?

Ну приготовься к тому, что пока ты джуниор ты во всем виноват и везде крайний. А твой начальник будет говорить "я же тебе говорил!", "А я тебя предупреждал!" и т.п.
Если будет все очень плохо и дело пойдет в суд, то при самом плохом раскладе тебя уволят. Ничего сверх тебе сделать не смогут. Ну уволят по нехорошей статье (но это КРАЙНЕ маловероятно. Если тебя конечно увольнять будет не Путин =) ). В этом случае (как и сказал Сергей Горностаев) выкидываешь ее подальше и устраиваешься заново. Но, повторюсь, это крайне маловероятно.

9) Свалить возможности нет, по условиям контракта придется выплатить неустойку, если сам уйду или если уволят, работать осталось около года.Подскажите как себя вести в юридическом плане. Какие документы желательно не подписывать в такой ситуации?

Если нет возможности свалить, сиди этот год тихонько в уголочке и делай то, что говорят. Выхода нету. Правда можно посоветоваться с юристом, показать ему трудовой договор, может и есть там какая-нибудь лазейка.

10) Как вести себя в профессиональном плане, какие плюсы можно извлечь из ситуации?

Плюсы в госСлужбе на должности джуниора... дай подумать... Боюсь что никаких =) Хотя есть вариант (но тут в зависимости от твоего возраста, семейного положения и т.п.), можно найти руководителя женского пола и жениться (ну или на дочке жениться). Тогда карьерный рост тебе обеспечен =)

Я сам долгое время работал в госСлужбе, потом работал по совместительству (и в коммерческой и в гос). Потом совсем ушел от госУчреждений. Боюсь что в профессиональном плане программисту многого там не получится добиться. Но может я и ошибаюсь.

Но помни:

Как любят шутить опытные программисты – если у вас есть проблема и вы захотели решить ее с помощью регулярных выражений, то теперь у вас две проблемы.

Согласен с Максимом, 150 статей - ни о чем. В ручную прописать в .htaccess и забыть. Можно конечно и скрипт написать, но на него больше потратишь времени =)

+ чтобы из индекса поисковиков не вылететь, не забудь указать зеркало (ты же собираешься домен сменить)