Как после авторизации сохранить пользователя?

Я бы организовал это следующим способом:
Стартовая активити приложения это сплэш скрин (просто картинка с каким-нибудь лого приложения или компании).
SplashActivity extends Activity{
...
onCreate() {
....
показываем картинку
....
запускаем асинхронный таск с проверкой параметров в shared prefereneces
}
....
int проверкаПараметров() {
if (пользователь залогинен в систему) {
return ОТКРЫТЬ_РАБОЧУЮ_АКТИВИТИ
} else if (пользователь зарегистрирован (но не залогинен)) {
return ОТКРЫТЬ_ЛОГИН_АКТИВИТИ
} else {
return ОТКРЫТЬ_АКТИВИТИ_РЕГИСТРАЦИИ
}
}
...
}

При регистрации в параметрах сохранять флажок что пользователь зарегистрирован. При логине сохранять какой-нибудь токен который можно проверить, для прототипа можно и флажок, но его легко подделать.

Каковы причины задержки в работe Service Android?

у вас в коде фигурирует дата, я бы будил прямо в это время, а не перезапускал постоянно:
alarmPendingIntent = PendingIntent.getBroadcast(context, 0, new Intent(context, TaskReceiver.class), 0);
AlarmManager am = (AlarmManager) context.getSystemService(Context.ALARM_SERVICE);
am.set(AlarmManager.RTC_WAKEUP, scheduledTime, alarmPendingIntent);