Создавайте отдельный файл php и отправляйте запрос на него
<form action="send.php". В файле используйте mail() (
php.net/manual/ru/function.mail.php). Либо организуйте запрос используя ajax.
Представлю решение на соло PHP, так как в Ajax не знаток. Возможно кто-нибудь другой сделает с Ajax.
Замените свой html-код формы на этот:
<form method=POST class="form_s center-block">
<div class="form-group">
<input type="text" class="form-control" required="required" placeholder="Имя" name="name">
</div>
<div class="form-group">
<input type="text" class="form-control" required="required" placeholder="e-mail" name="mail">
</div>
<div class="form-group">
<input type="text" class="form-control" required="required" placeholder="телефон" name="phone">
</div>
<button type="submit" class="btn btn-primary btn-block">ОТПРАВИТЬ ЗАЯВКУ И СКАЧАТЬ АНКЕТУ УЧАСТНИКА</button>
</form>
И в любую часть своей страницы(Желательно где-нибудь в конце) добавьте вот такой PHP-код:
<?php
$msg = 'Имя: '.$_POST['name']."\r\n E-mail: ".$_POST['mail']."\r\n Телефон: ".$_POST['phone'];
mail("paliki@mail.ru", "Новая заявка!", $msg);
echo '<div class="укажитеклассздесь">Заявка успешно отправлена!</div>';
?>
В поле class вставьте название css-класса.
