Синхронизация приложения с базой данных и с react.js?

Вам надо разобраться с флюком. А конкретно добавить в Store обработчики на события пистолета, которые будут отсылать данные в БД.
А пока не разобрались можно по таймауту весь стейт в бд скидывать. xD

Как использовать react без JSX?

ReactDOM.render(React.createElement( LikeButton),
document.getElementById('content')
);

Можно ли подружить react.js и php, и есть ли примеры?

React в браузере выполняется, его можно использовать без node.js. А php выполняется на сервере. Т.е. они друг другу изначально ни как, ни мешают. И их можно легко подружить.

Как сгенерировать кнопку в форме, которая будет закрывать Modal?

Что-бы спрятать форму модала нажатием кнопки из другого элемента, надо в этот элемент пробросить эту функцию из модала. И привязать к onClick. Функция this.hideModal(). pastebin.com/gFrSWDtV