Как работает Telegram API, и как написать библиотеку для работы с ним?

Filipp42, Смотря что вы подразумеваете под помощью.
Вся актуальная информация по работе API есть в официальной документации.

И я не отвечаю на вопросы, о которых не имею представления.
Библиотек не писал, они и так написаны под большинство популярных языков, но свои боты имеются, заточенные конкретно под мои нужды.

Как получить сообщение, к которому прикреплена Inline клавиатура?

dmitrysurkov, вы весь ответ видели или в нем были не развернутые объекты? ответ это json который имеет многоуровневую структуру, вы можете его увидеть исходник открыв url по которому получен ответ, в браузере например, или пройдя по ответу рекурсивно.