Игорь

<textarea class="js-copytextarea">Hello I'm so11111me text</textarea>

var copyTextareaBtn = document.querySelector('.js-textareacopybtn');

copyTextareaBtn.addEventListener('click', function(event) {
  var copyTextarea = document.querySelector('.js-copytextarea');
  copyTextarea.select();

  try {
    var successful = document.execCommand('copy');
    var msg = successful ? 'successful' : 'unsuccessful';
    console.log('Copying text command was ' + msg);
  } catch (err) {
    console.log('Oops, unable to copy');
  }
});

по клику запускаю эту функцию

/// content.js
calc=ваш объект или массив,что угодно.
chrome.runtime.sendMessage({greeting:calc});

background.js
	chrome.runtime.onMessage.addListener(

   function(request, sender, sendResponse) {

   localStorage['abbrev'] += request.greeting;

  });

poupop.js

chrome.storage.local.get('channels', function (result) {
        channels = result.channels;
       
        menu.innerHTML +=channels;
    });

1.Отсылаем сообщение в баграунд джс.
2.Бакграунд ДЖс уже иммеет доступ к записи на локальное хранилище расширения.
3.С поуп считываем запись в локальном хранилище.

ЗЫ,напрямую нельзя с контент сохранять в локальное хранилище и считывать в расширении.