БлагоДарю! Все ПОЛУЧИЛОСЬ!!!
Кому интересно, проблема была в lambda-функции, которая при нажатии на любую кнопку ссылалась на самый последний объект. Для избежания этого достаточно замкнуть lambda:
Вместо:
ui.copyURL.released.connect(lambda: pyperclip.copy(URL))
Сделать так:
ui.copyURL.released.connect(lambda URL = URL: pyperclip.copy(URL))