Miku Hatsune

1. Обращение статическим методом, к переменной, которая не объявленна таковой
2. Нет прав на запись в директорию скомпилированных шаблонов (chmod)

Первое фиксится так:

Открываете файл /var/www/lib/mysql.class.php, где-то в начале класса - описаны свойства класса, найдите там что то типа:

private $db_requests; и замените на private static $db_requests;

Второе фиксится проще, на директорию куда сохраняются скомпилированные шаблоны ( /var/www/inc/templates/helic/templates_c) дать chmod - 0777

Через SSH делается так:

chmod 777  /var/www/inc/templates/helic/templates_c

Что то типа этого:

$tag = $db->query('SELECT * FROM `теги`WHERE `имя_тега` = '.$json['имя_тега']);

if (!$tag->num_rows())
{
    // Создаём тег
    $new_tag = $db->query('INSERT INTO `теги` SET `имя_тега` = '.$json['имя_тега']);
    if (!$new_tag)
    {
        throw new Exception('Тега нет в бд и создать не получилось');
    }
}

Посмотрите какая версия PHP у вас включена, возможно у вас версия старая (В версии 5,3 и ниже вроде бы нельзя обращаться так к индексам).
// И перебирать ответ MySQLi лучше через while)

Как то красивее и проще:

while ($row = $result->fetch_assoc())
{
    echo 'Титл: ',$row['title'];
}

// У вас на скриншоте в цикле вызов mysql_result(), а используете вы MySQLi

Возьмите книгу поновее и откройте документацию по MySQLi)
Вот так должно работать (упрощённый вариант):

<?php
$db = mysqli_connect('localhost', 'user', 'password', 'databaseName');

if ($db->connect_errno)
{
   exit('Не получилось соеденится к MySQL серверу');
}

$query = mysqli_query($db, 'SELECT * FROM `classics`');

while ($row = mysqli_fetch_assoc($query))
{
   echo 'Автор: ',$row['author'];
}
?>