Добавляю в код "в мобильной версии при показе инпута кнопке делаю type=button"
Запустить поиск можно либо enter в инпуте, либо на кнопку поиска нажать (если она будет доступна)
Кнопка-крестик привязана к инпуту. При клике на ней очищает инпут и прячет его (лучше, если пошлет ему событие blur, чтобы активизировать уже существующий механизм)
Есть у вас форма поиска на сайте. Заставьте ее работать нормально. Если это кнопка, значит она отправляет запрос, перегружая страницу. У вас так работает обычная версия?
А у вас одна кнопка кучу ролей играет. Да поставьте их две и скрывайте лишнюю!
window.location.reload
Не хватает крестика для очистки инпута одним кликом.