Где найти такой счетчик?

внимательнй юзер зайдет с другого девайса и увидит разные числа :)
лучше уж на серверной стороне колдовать

Как сделать хорошее многоуровневое меню?

выложите на codepen , портянку мало кто читать будет

Почему текст попадает внутрь тега?

*

<i class="wi wi-yahoo-30" style="vertical-align: middle;"> 54° F</i>

Почему текст попадает внутрь тега?

ничего не затягивает, все снаружи
выложите на jsfiddle пример, где получается
" 54° F"

Почему текст попадает внутрь тега?

из описания "The icons are displayed by using an i element and adding the base class wi and then the icon class you want, such as day-sunny"
т.е для отображения использует тег i
если нужно отображать иначе чем все остальные теги i то меняем стили для класса wi

Почему при смене кода цвета в :hover цвет не меняется?

Менять нужно в файле стилей +F5

Почему при смене кода цвета в :hover цвет не меняется?

а по ссылке сходить посмотреть? там кусок разметки и css с "Полностью код кнопок можно посмотреть здесь"

Как найти слово в строке без учета регистра?

"Привет, мир".toLowerCase().indexOf("пРивЕт".toLowerCase()) // 0

Simple dom html как обратиться к элементу без атрибута?

если нужно проверять отсутствие только одного класса S2H, тогда так:
if ( !elem[i].classList.contains('S2H') ) echo elem[i]; // если класса S2H нет то echo

Как сделать выделение по всей ячейке?

в частном случае работает и
- padding: 10px 25px;
+ padding: 11.5px 25px;

Как выполнить такое меню?

да, три padding'a и один margin
по ссылке- мои правки правее основного кода