Правильный вариант. ТЗ пишет заказчик, его читает менеджер и уточняет. Пото ТЗ читают разработчики (в Вашем случае, веб-дизайнер и веб-разработчик) и высказывают замечания (если есть). После этого менеджер согласует с заказчиком уточнённый вариант ТЗ. И так может пройти несколько итераций.
Приемлемый вариант (зачастую он удобнее). ТЗ пишет менеджер и согласует его со своими разработчиками, а уже после этого с заказчиком. И так может быть несколько итераций.
В любом случае ТЗ это документ заказчика, в нём также заинтересован разработчик. Третья организация к ТЗ никакого отношения иметь не может. Разве что в особых случаях, например, когда одна организация заказывает, а другая оплачивает.
Если менеджер не решает все финансовые вопосы, то ТЗ также должен проверять человек, который за это отвечает.
После подготовки и подписания нескольких ТЗ, новые обычно готовятся на базе старых.
