Предположим, список возможных персонажей хранится в массиве. Можно сохранять в PlayerPrefs индекс выбранного персонажа, а в нужной сцене создавать с помощью Instantiate его из массива.
Если нужно сохранить нужного персонажа при переходе между сценами, а не создавать - есть DontDestroyOnLoad.
