Felihita

Потому что вы жмете кнопку в своем чате с ботом, поэтому и отправляете себе.

Можно добавить к callback_data параметром с ID чата.

approval_keyboard.add(InlineKeyboardButton("Одобрить", callback_data=f"approve_message.chat.id"),
                          InlineKeyboardButton("Отклонить", callback_data=f"reject_message.chat.id"))

Переписать хэндлер как

@dp.callback_query_handler(lambda c: c.data.startswith('approve_') or c.data.startswith('reject_') )

Ну и в самой функции через сплит достать ID человека

aiogram.utils.exceptions.BadRequest: Can't invite members to a private chat

Ты передаёшь в функцию ID приватного чата, а не комнаты. Проблема в этой строке.

await bot.approve_chat_join_request(chat_id=callback_query.message.chat.id, user_id=user_id)