FD4A

Хорошая архитектура только косвенно зависит от языка программирования. Я бы рекомендовал почитать Чистую архитектуру Роберта Мартина, читается легко и всё по делу.

Для более безопасной работы со строками в си лучше использовать семейство функций strn, например strncmp().

for(int i=0; i<n; i++)
  {
    a[i][i]=i;
    b[i][i]=0;
  }

Первое: тут явно не все элементы массивов будут инициализированны. Посмотрите как вы выводите двумерный массив на печать в конце:

for(int i=0; i<n; i++)
  {
    for(int j=0; j<n; j++)
    {
      cout<<b[i][j]<<" ";
    }
    cout<<endl;
  }

Аналогично нужно проводить заполнение при помощи двух циклов. Ещё наверное стоит заполнить матрицу а случайными целыми (функция rand()) и выводить обе матрицы а и b.
Заполнение:

for(int i=0; i<n; i++){
    for(int j=0; j<n; j++){
         a[i][j]=rand();
         b[i][j]=-1;
    }
}

Далее во втором цикле начинаем обход столбцов со второго.
for(int j=1; j<n; j++)
Почему не с первого с индексом 0? Ведь нужно получить ответ для каждого элемента в матрице b.

Как только получите правильное заполнение надо взять листочек бумаги и подумать как получать минимум по области тета. В первом столбце матрицы b в i-ой строке явно стоит элемент который меньше всех остальных пройденных до него. Из этого следует, что можно использовать промежуточную матрицу С у которой элемент i,j это минимум в данной части столбца j от его начала до строки i. И тогда если нужно получить b(i,j) нужно просто взять минимальный из элементов на "диагональной" границе области тета в матрице С.

Чтобы решить задачу бейте на подзадачи, в Вашем вопросе собственно уже всё есть:
1) Ввод массива
2) Слияние двух массивов
3) Алгоритм быстрой сортировки
Каждая из задач легко находится в поисковике. Хорошо бы ещё иметь тесты, которые докажут правильность решения задач.