Заменить в SiteController -> actionSignup

if (Yii::$app->getUser()->login($user)) {
     return $this->goHome();
}

на return $this->goHome();

Для отправки формы на адрес /php/script.php нужно установить параметр action

<form id="form" class="form" action="/php/script.php"></form>

Не закрыт ready, это правильный код

$(document).ready(function () {
        $("#form").submit(function () { //устанавливаем событие отправки для формы с id=form
            var form_data = $(this).serialize(); //собераем все данные из формы
            $.ajax({
                type: "POST", //Метод отправки
                url: "../php/script.php", //путь до php фаила отправителя
                data: form_data,
                success: function () {
                    //код в этом блоке выполняется при успешной отправке сообщения
                    alert("Ваше сообщение отпрвлено!");
                },
                error: function (xhr, str) {
                    alert('Возникла ошибка: ' + xhr.responseCode);

                }
            });
        });
    });

Для проверки срабатывания обработчика

$(document).ready(function () {
        $("#form").submit(function () {
            console.log("Send");
            return false;
        });
    });