Можно ещё в основном потоке сделать подписку на своё событие.
А в методе onPostExecute (AsyncTask) вызвать это событие и передать туда результат работы фонового процесса
Не забыл в манифесте прописать?
uses-permission android:name="android.permission.INTERNET"
uses-permission android:name="android.permission.ACCESS_NETWORK_STATE"