Elmodo

После нужного Dial, а так же в экстеншене h нужной вам секции контекста диалплана сделайте вызов некого контекста через gosub.
В этом контексте проверьте, что переменная CDR billsec отсутствует или меньше, нарример, 5 секунд, и отправляйте через функцию астера CURL свой запрос

chan_sip.c:26407 handle_request_invite: Call from '' (185.xx.xxx.xx:yyyy) to extension '+xxxxxxxxx' rejected because extension not found in context 'public'.

Если тут IP адрес - не ваш, то это не ошибка, это попытки совершить вызовы с вашей АТС удаленно. Иными словами - вас пытаются "взломать".

chan_sip.c:4072 retrans_pkt: Retransmission timeout reached on transmission 406352109-1273432794-715019137 for seqno 1 (Critical Response)

Это является следствием попыток вас "взломать". АТС получает запрос на соединение "INVITE" и пытается с ним работать (отбить) и ожидает ответа с той стороны. Ответа нет, она опять пытается сообщить удаленной стороне информацию, опять ответа нет. В итоге, наступает timeout и астериск об этом сообщает в лог.

Если

Asterisk.
1) На нем исходящий транк на провадера.
2) Запись разговоров. Тут либо прям через gui в случае всяких сбороко либо классически и по меньшим ресурсам через диалпан ручками. Последнее принципиально и лучше т.к. не будет лишнего говна.
3) обычный веб сервер(даже lamp) и на нем простенький генератор .call файлов. Можно и без пышки путем cgi скриптов. Вот и api.

На пункт 2 и 3 даже с нулевыми знаниями уйдет пара дней, на первый без знаний скорее всего гораздо больше.
Ну и бесплатно на готовенькое по астериску очень вряд ли кто то скажет или поможет на готовенькое.