if (!isLocalPlayer)
            return;

в
private void Update()
точно не нужен, а в
private void FixedUpdate()
точно нужен?

Вдобавок, даже если все проверки на то, от локального игрока берём поступающие команды или от сетевого, произойдут успешно - всем присутствующим "куклам" будут пытаться отправиться (и выполниться) все команды подряд, что (отчасти - отсутствует проверка для горизонтального движения) и произошло на последней трети видео.
Нет указания, какой конкретно инстанс "куклы" будет двигать полученный инпут.
Либо что-то помешало его выполнению - NetworkBehaviour, насколько я знаю, сам по себе соответствие "инстанс объекта" <-> "локальный/нелокальный игрок" не устанавливает, значит, где-то должен быть ещё код, который это делает.

Больше невооружённым глазом аномалий не вижу...

Я уже не с Убунтой, но пока был с Линуксом - успел месяц назад с той же проблемой помаяться. Как самый обычный пользователь.
Извращался как мог - и заранее скачаные ключи подбрасывал, и скрипты как-то в обход пустить. Не заборол.

Дело не в конструкции и не в том, что надо отключать проверку.

В новых версиях Ubuntu, Linux Mint и им подобных очень сильно поменялась политика по безопасности внешних репозиториев - настолько, что не понравившиеся на предварительной попытке сконнектиться ключ будет отвергнут задолго до того, как сработает проверка на allow_unauthenticated .

Каких-то гайдов по обходу для конечного пользователя я не нашёл - нужны какие-то чудные изменения на стороне добавляемого PPA репозитория.

Конечный пользователь типа нас с Вами, похоже, может только скачать скомпилированный пакет и ставить его руками (.tar.gz) и/или через Software Manager (.deb и подобные). Естественно, автоматически оно обновляться не будет...
Ну или откатиться на какую-нибудь старую версию Линукса, на ней этой проблемы быть не должно.