1. учимся дебажить.
если что-то не работает, нужно по шагам проверить все.
что передается в каждую функцию.
что возвращается из каждой функции.
2. перестаем использовать mysql_, переходим на mysqli_ / pdo
3. обновляем версию PHP до актуальной
PS
ответ на вопрос - потому что внутри функции не определен $all_about_user_array['id'].
его нужно туда передать агргументом
PPS
Вместо
mysql_query("SELECT `api_key` FROM `users` WHERE `id`='$all_about_user_array[id]' LIMIT 1");
пишите хотя бы
mysql_query('SELECT `api_key` FROM `users` WHERE `id` = ' . (int)$all_about_user_array[id] . ' LIMIT 1');