Как мне передать данные из локальной PostgreSQL в контейнер Docker, таблицы, связи и прочее?

Делается это утилитой pg_dump.
См. документацию:

https://www.postgresql.org/docs/current/backup-dum...

Почему при запросах после аутентификации выдаёт 403?

Насколько я помню, JSESSION, это куки. А у вас тут API, что по определению не должно использовать кук. Лучше оставайтесь на JWT, это норм решение в случае API подхода.