Это же асинхронный фреймворк, нужно запустить отдельные таски по клиентам. А run запускает таск с этим клиентом и ждёт его завершения, поэтому первый клиент запускается, а второй - нет.
Соответственно, надо сделать так:
first_client.start()
second_client.run()
